Некоторые заметки о реформе среднего образования, в том числе 
математического
М.Я.Пратусевич

1. Общие положения
Одной из центральных реформ с точки зрения обеспечения будущего развития общества сегодня является реформа образования. Позиционирование ее как "модернизации" не меняет ее большого, возможно, определяющего влияния на судьбу общества и государства.
В связи с этим полезно рассмотреть изменения содержания образования в русле всей концепции реформы, которая видится мне следующим образом.
Реформа состоит из четырех частей: 1) введение 12-летнего срока обучения, что, по мнению инициаторов реформы, влечет за собой 2) изменение содержания образования, представляющее, впрочем, самостоятельный компонент реформы; 3) Единый государственный экзамен; 4) Государственные именные финансовые обязательство как средство реализации принципа "деньги следуют за учеником.
Рассмотрим первые три из указанных частей (не будучи специалистом в экономике, обойду вопрос о ГИФО молчанием)

1) Двенадцатилетнее обучение. Здесь я позволю себе быть кратким, ибо всякому здравомыслящему человеку ясно, что прежде чем определять сроки обучения, необходимо понять, чему же мы собираемся учить. Таким образом, последовательность "Срок обучениясодержание образования", принятая сегодня образовательными властями, является абсурдной. Тем самым, поскольку реформированное содержание образования не определено, то и говорить о 12-летней школе глупо. Все остальные аргументы сторонников 12-летнего обучения не выдерживают никакой критики, что многократно обсуждалось в педагогической прессе, да и в российских СМИ.

2) Содержание образования. Здесь есть о чем поспорить. Дело в том, что, по моему глубокому убеждению, современное содержание образования ни в коей мере не удовлетворяет потребностей ни одной из сторон образовательного процесса (общества, ученика, родителя): общество испытывает жесточайший кадровый голод, большинство выпускников социально дезориентированы, ответственные родители задавлены прессом со стороны школы. Актуальность и фундаментальность большинства сведений, сообщаемых в школе, находится под вопросом (особенно по так называемым "гуманитарным предметам"). При этом, школа перестала быть основным источником информации, умений и навыков, особенно в больших городах (здесь уместно вспомнить знаменитое высказывание Гекльберри Финна "Я не позволю, чтобы школа мешала моему образованию"). Поэтому я считаю, что содержание образования должно быть изменяемо. Но эти изменения должны удовлетворять следующим критериям: 1) обоснованность; 2) востребованность; 3) ресурсная обеспеченнность; 4) постепенность; 5) вариативность. Подробнее к этим критериям я вернусь в следующей части, где будет обсуждаться содержание математического образования.

3) Единый государственный экзамен. Не скрою, что я, как практикующий учитель, поддерживаю единый государственный экзамен как идею. Более того, с точки зрения школьного учителя математики задания экспериментального ЕГЭ, прошедшего в прошлом году, вполне сопоставимы по сложности и насыщенности с заданиями традиционного выпускного экзамена.
Поясню свою приверженность ЕГЭ.
Ни для кого не секрет, что в настоящий момент система итоговой аттестации в школе и вступительных экзаменов в высшие учебные заведения переживает кризис. Не побоюсь утверждать, что этот кризис является системным.
В самом деле, какие цели преследует итоговая аттестация в школе? По-видимому, основная цель – получение государством, обществом и родителями, как основными заказчиками образовательного процесса, информации об итогах этого процесса. Предположив, что получаемая информация является объективной и независимой (что на самом деле не так), неизбежно приходим к вопросу: зачем нужны вступительные экзамены в высшие учебные заведения? Если же итоговая аттестация в школе не дает объективной оценки результатов образовательного процесса, то зачем нужна такая итоговая аттестация?
Необъективность выпускных экзаменов в школе не является секретом для общества. Да и откуда взяться объективности, если школа сама учит, и сама же проводит процедуру контроля результатов своей деятельности. Не лучше обстоит дело и высших учебных заведениях. С завидной регулярностью в пору вступительных экзаменов газеты начинают буквально захлебываться статьями, указывающими суммы, которые нужно платить за поступление на тот или иной факультет. Пока это касается в основном гуманитарных и экономических факультетов и медицинских институтов, но когда в обществе созреет понимание того, что будущее за квалифицированными программистами, аналитиками и прочими специалистами с математическим складом ума, подобная вакханалия начнется и по поводу экзаменов на технические и математические специальности. Более того, она уже началась. Иногда создается ощущение, что теорема Пифагора в разных ВУЗах разная. Например, отдельные учебные заведения города требуют следовать строго определенному оформлению решения задачи при том, что критерии такого оформления иной раз не верны даже логически. 
Я считаю, что в основе объективной аттестации должен быть единый экзамен. Сразу хочу подчеркнуть несколько моментов.
Почему-то обществу навязывается мысль о том, что единый экзамен должен проходить в форме теста. Категорически не согласен с этим, как минимум по отношению к экзамену по математике. Качества, необходимые для выбора правильного ответа из нескольких представленных,  имеют весьма мало общего с теми качествами интеллекта, которые провозглашаются результатом обучения математике во всех программах, государственном минимуме содержания образования и т.д. Решение теста превращается в размышления на тему “Что имел в виду составитель?”. Однако, математика – единственный предмет, где ученик может убедить учителя в своей правоте, не прибегая ни к какому авторитету. Не надо лишать его этой возможности на экзамене.
Единый экзамен должен проводиться независимой аттестационной службой. При этом процедура экзамена должна предусматривать максимально возможную анонимность. Мне рассказывали, что в Алжире действовала система, когда экзамен проводился службой безопасности. Каждая работа шифровалась, причем шифр знал только экзаменующийся ученик. Работы проверялись комиссией, состоящей из лучших учителей, которые во время проверки были отрезаны от внешнего мира. 
Конечно, такая организация есть предельный случай реализации принципа независимости и честности, но хотя бы первое приближение к этому принципу должно быть и в нашей стране.
Считаю, что экзамен должен быть единым для всех типов учебных заведений. В тексте работы должны быть блоки заданий разной сложности, оцениваемых, естественно, разным количеством баллов. В результате каждый ученик будет иметь абсолютное количество баллов по этому экзамену, но в одном классе за это количество баллов поставят отметку “пять”, а с другом – “два”. И на математические специальности в МГУ будут брать, например, тех, у кого по математике набрано 90 баллов из 100, а на экономические – тех, у кого 70. А для поступления в менее престижные вузы баллов понадобится меньше, иначе учить будет некого.
Концепция построения единого экзамена должна быть обсуждена в преподавательском сообществе. Как мне кажется, нужно избавиться от безумных задач с параметрами, хитроумно вывернутых тригонометрических уравнений и прочей подобной ерунды, которую натворили за эти годы приемные комиссии вузов. Тем более, что в последнее время тенденция накручивания технических трудностей в ущерб идейной цельности и ясности стала наблюдаться и на школьных выпускных экзаменах, особенно в математических классах.
Как известно, “дьявол скрывается в мелочах”. Поэтому, вопреки обыкновению, вся система единого экзамена, процедура его сдачи и тому подобные технические моменты, прежде чем утверждаться министерским приказом, должны быть подвергнуты общественному обсуждению и уточнению. Только так мы можем более или менее гарантировать общество от узурпации экзамена какой-либо узкой группой методистов или математиков, чьи вкусы и представления тем самым будут навязываться всему сообществу преподавателей. Только таким образом можно попытаться создать систему аттестации, гарантирующую обществу объективность результатов (в той степени, в какой ее вообще можно гарантировать).
Перед повсеместным введением система единого экзамена должна быть экспериментально опробована в различных условиях: крупного мегаполиса, среднего города, сельского района, глухой деревни  т.д. Заодно можно надеяться на получение сведений о реальном качестве образования в России на уровне конкретных данных, а не умозрительных рассуждений.
Несколько слов о репетиторстве. Оно бывает двух видов: торговля знаниями и торговля своим служебным положением под видом репетиторства. Нетрудно заметить, что первая разновидность репетиторства в результате введения единого экзамена не сильно пострадает. Можно надеяться, что вторая через некоторое время отомрет.

2. О содержании математического образования
Прежде всего несколько слов о существующем содержании математического образования.
Рассмотрим обучение алгебре. Можно с уверенностью сказать, что оно, особенно в старших классах, является одним решением уравнений и неравенств. Этому подчинено все остальное. Что такое начала анализа в старшей школе? Взять производную, найти промежутки монотонности и экстремумы, построить график, иногда (это уже для математических классов) с помощью него ответить на какой-либо вопрос об уравнении с параметром. Найти общий вид первообразной, подставить начальное условие, найти произвольную постоянную. Примеры можно множить и множить. Анализ вариантов выпускных экзаменов за IX и XI классы (для базовой школы) лишь подтверждает эту тенденцию. При этом решение уравнений не исследуется с точки зрения того, что происходит (сохранение равносильности и т.д.). 
Из базовой школы изгнаны любые задачи, при решении которых необходимы хотя бы минимальные размышления. Отсюда и вытекает отсутствие теории чисел, дискретной математики, вероятности и комбинаторики и т.д. Современная школьная математика – царство алгоритма. Естественно, что изучение набора слабо связанных между собой алгоритмов не имеет ничего общего с провозглашаемыми высокими целями обучения математике. Именно поэтому современное содержание базового курса математики  усваивается более чем на "три", по различным оценкам, лишь долей выпускников между четвертью и третью. 
Именно это, кстати, и показал ЕГЭ 2001 года. Бессмысленно обвинять в этом школу. Такое положение вещей задается государственными требованиями. Более того, страстное желание решать уравнения приводит к несформированности базовых навыков (например, обращения с дробями). К нам, в физико-математический лицей №239, приходят поступать дети, не умеющие сложить двух арифметических дробей! Остается вспомнить слова Тургенева "Если сливки таковы, каково же молоко"?
Что касается геометрии, то после отмены обязательного экзамена после IX класса на ее изучении в общем можно ставить крест. Большая часть практического преподавания строится на принципе: "Все, что не нужно для экзамена, изучению не подлежит".
Поспешное введение новых разделов в курс математики приводит к еще большей его формализации. Будучи не подкрепленным ни кадрово (средний возраст учителей математики в России – 43 года), ни методически (внятными учебниками и другой методической литературой), преподавание вновь введенных разделов превращается в схоластические штудии, не имеющие с математикой ничего общего (типичным образцом подобного подхода является задача: решить уравнение С7х=21 в курсе комбинаторики).
С другой стороны, правильно поставленное математическое образование может служить фундаментом для успешного изучения всего остального курса. Ибо в школьной программе нет более приспособленного предмета  для творчества, развития логики и образного мышления, нежели математика. 
Таким образом, имеется необходимость каким-то образом приближать содержание математического образования к реализации поставленных перед ним задач.
Однако предложенный авторами реформы содержания подход (который кратко можно характеризовать пословицей "Тех же щей, но пожиже влей") не только не решает указанных выше проблем, но и усугубляет их. Размытые и невнятные "Требования к уровню подготовки выпускников" позволяют практически свести уровень преподавания математики в основной школе к простейшим навыкам счета, решению линейных и квадратных уравнений (не неравенств!), а также простейшим  манипуляциям вычислительного характера с геометрическими фигурами.
Выполнение базовой программы по математике рассчитано на 3 часа в неделю (столько сейчас имеют школы, занимающиеся по гуманитарному курсу). Предполагается, что профильный уровень, который может быть реализован только в двух старших классах, будет рассчитан на 5 часов в неделю (столько сейчас занимает базовый уровень, результаты которого мы все видим!). 
Таким образом, жертвы своих школьных неуспехов в изучении математики (будем надеяться, что эти предложения являются плодом глупости, а не умысла) предлагают полностью вычеркнуть бесценный опыт физико-математических школ, отбросив даже профильное образование на недопустимо низкий уровень.
Кроме того, сама структура курса, когда содержание нынешних 3 лет изучения математики будет размазано на 5 лет, после чего не всем, а только ученикам профильной школы будет предложено за уменьшенное почти в два раза время в течение тех же двух лет достигнуть уровня нынешних выпускников физико-математических школ и классов, показывает всю утопичность предложенных изменений.
Поэтому основными тактическими задачами педагогического и научного сообщества по отношению к математическому образованию мне видятся следующие:
а) Не допустить любой реформы содержания, связанной с уменьшением часов на преподавание математики. Этого не должно произойти, под каким бы видом и соусом такая реформа не преподносилась.
б) Тем временем разработать прежде всего новый корпус задач, посвященных тем же темам курса, но позволяющих достичь целей, декларированных в качестве основных в обучении математике.
в) Произвести отбор новых разделов, долженствующих войти в курс математики, обеспечив их методическое и задачное наполнение, затем постепенно внедрить их в педагогическую практику (например, отсутствие дискретных задач приводит к тому, что учащиеся практически не владеют навыком квалифицированного конечного перебора, в полезности которого, я думаю, ни у кого нет сомнений).
И только после многолетней экспериментальной и методической проработки, убедив учительский корпус в необходимости изменений, можно осуществлять их постепенное внедрение. При этом следует отчетливо осознавать, что единой государственной программы уже нет и она вряд ли когда-нибудь появится. Поэтому требования должны распространяться не на процесс обучения, а на его результат. Поэтому еще одной важной задачей является определение способов проверки качества математического образования, пригодных для массового применения.